微积分期末复习总结
这篇文章的主要目的是帮助作者复习下学期微积分的主要知识，总结整理一些重要方法和思想，期末拿高分。
一、线性微分方程
1.线性微分方程解的结构
(1)二阶齐次线性微分方程
$$y’’+p(x)y’+q(x)y=0\tag {1}$$
这是一个二阶齐次微分方程(HL)，$p$、$q$分别为关于$x$的多项式。我们的首先想法是如何解出它的特征方程组。因为这是一个二阶方程，所以它的特征方程组应该包含两个特征方程。
于是我们想到可以先求出一个特征方程，再利用常数变易法求出另一个特征方程，进而写出一般解组。
若已知一个特征方程$y_1$，则$y_2$可由Liouville公式求出：
$$y_2(x)=y_1\int\frac{1}{y_1^2}e^{-\int p(x){\rm d}x}{\rm d}x\tag{2}$$
(2)二阶非齐次线性微分方程
$$y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)\tag {3}$$
与式(1)相比多了一个多项式，根据我们学过的线性代数，可以推断该非齐次线性微分方程(NHL)的基本解组为:
$$\hat{y}=y^*+C_1y_1+C_2y_2\tag{4}$$
其中，$y^*$为一个方程特解，同样可由常数变易法求出。
2.常系数线性微分方程
(1)常系数齐次线性微分方程
我们先来看二阶常系数微分方程如何解：
$$y’’+py’+qy=0\tag {5}$$
$p$、$q$为常数，观察方程的形式可知解的形式应为$y=e^{rx}$，代入得
$$e^{rx}(r^2+pr+q)=0\tag{6}$$
根据式(6)即可解得特征方程组。值得注意的是，当方程出现重根时，其他解要用常数变易法解出。
对于一般的常系数微分方程的解法是一样的，下面列一个表供参考：
| 特征根情况 | 基本解组中对应的函数 |
|---|---|
| 单实根$r$ | $e^{rx}$ |
| $k$重实根$r$ | $e^{rx},xe^{rx},…,x^{k-1}e^{rx}$ |
| 单重共轭复根$\alpha+{\rm i}\beta,\alpha-{\rm i}\beta$ | $e^{\alpha x}\cos\beta x,e^{rx}\sin\beta x$ |
| $k$重共轭复根$\alpha+{\rm i}\beta,\alpha-{\rm i}\beta$ | $e^{\alpha x}\cos\beta x,e^{\alpha x}\sin\beta x,xe^{\alpha x}\cos\beta x,xe^{\alpha x}\sin\beta x,…,$ $x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x,x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x$ |
(2)常系数非齐次线性微分方程
对于非齐次部分
